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Control Theory note

Lecture 1

控制: 使受控对象产生预期相应 (按照预期方式工作).

输入(激励) —> 输出(相应)

自动控制: 无人参与情况下, 利用控制装置使受控对象的某一受控变量自动按照预定规律运行.

受控对象: 要求实现自动工作的机器, 设备或生产过程. 有多个受控变量.

  • 开环控制: 利用执行机构直接控制受控对象, 信息单向流动

    • 控制量 $u(t)$ —> 执行机构(油门, 方向盘) —> 受控对象 —> 输出 $y(t)$​
  • 闭环控制: 有反馈过程, 信息双向流动

    • 预期输入 $r(t)$ —> 比较器 —> 误差$e(t)$ —> 控制器 —> 控制量$u(t)$ —> 受控对象 —> 实际输出 $y(t)$

      ​ $\uparrow$​​ <———- 测量值 <———- 测量装置 <———- 被测变量 <———- $\downarrow$​​

    HW 1

1-1

  • 输出变量: 激光器的实际输出功率
  • 输入变量: 激光器预期输出的功率
  • 待测变量: 传感器测量得到的, 与激光器的实际输出功率成比例的信号
  • 控制装置: 微处理器

1-2

Lecture 2

  • 经典控制理论: 传递函数
  • 现代控制理论: 状态空间方程

都要微分方程

  • 时间域: 微分/差分方程, 状态方程
  • 复数域: 传递函数, 结构图
  • 频率域: 频率特性函数

微分方程模型:

  • 确定输入量, 输出量
  • 根据设定写方程
  • 消除中间量, 保留输入, 输出
  • 标准化: 等式右边/左边与输入/输出变量有关

线性定常(时不变): 系数不变

线性系统:

  • 叠加性: $ y(x_1+x_2) = y(x_1) + y(x_2)$
  • 齐次性: $y(\beta x ) = \beta y(x)$

一般$n$​阶线性定常微分方程模型: $y(t)$ 为输出, $r(t)$ 为输入, $m<n$, $a,b$ 均为实数, 为系统参数

$a_0 \frac{d^n}{dt^n}y(t) + a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_{n-1} \frac{d^{}}{dt^{}}y(t) + a_n y_t = b_0 \frac{d^m}{dt^m}r(t) + b_1 \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t) + \cdots + b_{m-1} \frac{d^{}}{dt^{}}r(t) + b_m r_t $​

建立线性化近似模型策略:

  1. 限制范围, 使系统工作在线性区, 忽略非线性. $y = \frac{dy}{dx}|_{x_0} x$​
  2. 小信号 : 泰勒展开

时间域 $f(t)$ —> 傅立叶变换 —> 频率域 $F(\omega)$​ —> 傅立叶反变换 —> $f(t)$​

傅立叶变换: $F(\omega) = \int _{-\infty} ^ {+\infty} e^{-j\omega t} f(t)dt$

拉普拉斯变换: $L(s) = \int _{0} ^ {+\infty} e^{-(\sigma + j \omega ) t} f(t)dt$​, 复数 $s = \sigma + j \omega$​

$F(s) = L(f(t)) = \int _0 ^\infty f(t)e^{-st}dt$

拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换, 是线性变换

$F(s)$​ 为 $f(t)$ 的拉氏变换或象函数, $f(t)$ 为 $F(s)$​ 的原函数, 一一对应.

  • 指数函数: $f(t) = Ae^{-at} \rightarrow L(f(t)) = \frac{A}{s+a}$, 极点 $s = -a$
  • 单位阶跃函数: $0,1 \rightarrow \frac{1}{s}$, 极点 $s = 0$
  • 斜坡函数: $ At \rightarrow \frac{A}{s^2}$, 极点 $s_{1,2} = 0$
  • 幂函数: $ t^n \rightarrow \frac{n!}{s^{n+1}}$​
  • 正弦函数: $\sin \omega t \rightarrow \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ , 极点 $s_{1,2} = \pm j \omega$
  • 余弦函数: $ \cos \omega t \rightarrow \frac{s}{s^2 + \omega^2}$​ , 极点 $s_{1,2} = \pm j \omega$
  • 单位脉冲函数: $\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \rightarrow 1$

五大定理

  • 位移定理
    • 时间 $t$​​ 平移 $L[f(t-a)] = e^{-as}F(s)$
    • 频率域 $s$​​​ 平移 $L[f(t)e^{-at}] = F(s+a)$
    • 时间 $t$​​ 尺度变换 $L[f(\frac{t}{a})] = aF(as)$
  • 微分定理
    • $L[\frac{d}{dt} f(t)] = sF(s) - f(0)$​
    • $L[\frac{d^2}{dt^2} f(t)] = s^2F(s) - sf(0)- f’(0)$
    • $L[\frac{d^n}{dt^n} f(t)] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots -sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)$​
    • 零初始条件 $L[\frac{d^n}{dt^n} f(t)] = s^nF(s)$
  • 积分定理
    • $L(\int f(t)dt) = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0)}{s},~f^{-1}(0) = \int_{-\infty}^0 f(t)dt$
    • $L(\int \int f(t)dt) = \frac{F(s)}{s^2} + \frac{f^{-1}(0)}{s^2} + \frac{f^{-2}(0)}{s},~f^{-1}(0) = \int_{-\infty}^0 f(t)dt$
    • 零初始条件 $L[\int\int\cdots\int f(t)dt^n] = \frac{F(s)}{s^n}$
  • 终值定理
    • $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} = \lim_\limits{s\rightarrow0}sF(s)$
  • 初值定理
    • $\lim\limits_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim\limits_{s \rightarrow \infty} sF(s) $​

Lecture 3

拉氏反变换 $f(t) = L^{-1} [F(s)]$

可将 $F(s)$​ 分解为典型函数的叠加 $L^{-1}[F(s)] = L^{-1}[F_1(s)] + L^{-1}[F_2(s)] + … +L^{-1}[F_n(s)]$​

通常 $F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} =\frac{b_{0}s^{m} + b_{1}s^{m-1} + … + b_{m-1}s^{} + b_{m}}{a_{0}s^{n} + a_{1}s^{n-1} + … + a_{n-1}s^{} + a_{n}} = \frac{c_{0}s^{m} + c_{1}s^{m-1} + … + c_{m-1}s^{} + c_{m}}{(s+p_1)(s+p_2)…(s+p_n)} $

$F(s)$ 的极点: 使分母 $A(s) = 0$ 的根​

$F(s)$ 的零点: 使分子 $B(s) = 0$ 的根​

  1. $F(s)$ 只有不同的实数极点 $F(s) = \sum\limits _{i=1} ^n \frac{A_i}{s+p_i} \Rightarrow L^{-1}[F(s)] = \sum\limits _{i=1} ^n L^{-1} [\frac{A_i}{s+p_i}] = \sum\limits _{i=1} ^n A_i e^{-p_i t}$
  2. $F(s)$​​ 有共轭复数极点
  3. $F(s)$​ 有重极点

用拉氏变换求微分方程

  1. 将方程通过拉氏变换变为 $s$ 的代数方程
  2. 解代数方程得到 $F(s)$
  3. 反变换回时域解 $f(t)$

受控变量运动模态取决于其变换函数 $Y(s)$​ 的极点(分母多项式方程的根)

  • $s = -a \Leftrightarrow e^{-at}$
  • $s = \pm j \omega \Leftrightarrow \sin(\omega t)$

传递函数: 在0初始条件下, 系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值

只适用于线性定常系统

$G(s) = \frac{b_{0}s^{m} + b_{1}s^{m-1} + … + b_{m-1}s^{} + b_{m}}{a_{0}s^{n} + a_{1}s^{n-1} + … + a_{n-1}s^{} + a_{n}} = \frac{M(s)}{N(s)}$​

$n \ge m$, 系数均为实数

放大系数(增益): $G(0) = \frac{b_m}{a_n} = K$

$N(s) = 0$ 称为系统的特征方程, 其根为系统的特征根, $s$ 的最高阶次等于系统的阶次

HW3

2-6

(a) $r(t)$ 为单位阶跃函数, $R(s) = L(r(t)) = \frac{1}{s}, Y(s) = \frac{4(s+50)}{s(s^2 + 30s + 200)} = \frac{1}{s} - \frac{8}{5} \frac{1}{s+10} + \frac{3}{5}\frac{1}{s+20}$

​ $y(t) = L^{-1}(Y(s)) = 1 - \frac{8}{5} e^{-10t} + \frac{3}{5} e^{-20t}$

(b) 由题意 $\lim_{t\rightarrow \infty} y(t)$​ 存在, $y(t)$​ 存在拉氏变换

Lecture X

二阶系统的时域响应性能分析

$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)},~H(s)=1$

$\Phi(s) = \frac{G}{1+GH} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_ns+\omega_n^2}$

梦开始的地方, 可见二阶系统由2个参数决定: $\zeta,~\omega_n$

symbol CHN
$\zeta$ 阻尼系数, 阻尼比
$\omega_n$ 系统固有频率, 自然振荡频率
$\sigma = \zeta\omega_n$ 衰减系数, 负的实部
$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$ 阻尼频率, 虚部
$\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}$ 根实部虚部之比
$\beta=\arctan{\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}}$ 阻尼角
T=$\frac{1}{\zeta\omega_n}$ 广义时间常数

$\zeta \in$

  • (0,1): 欠阻尼系统, 重点
  • {1}: 临界阻尼系统
  • (1, $+\infty$​​): 过阻尼系统
  • {0}: 零阻尼系统
  • ($-\infty$​, 0): 负阻尼系统

以下讨论欠阻尼系统

$s^2 + 2\zeta \omega_ns+\omega_n^2 = 0$​​​, 极点 $s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\sigma\pm j\omega_d$​​

一对共轭复根​​​

单位阶跃响应 $Y(s) = \frac{1}{s}\cdot\Phi(s)$

$y(t) = 1 - e^{-\zeta\omega_nt} [\cos(\sqrt{1-\zeta^2} \omega_nt) + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\sqrt{1-\zeta^2} \omega_nt)] = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_dt+\beta)$​

  • 零稳态误差: $\lim_{t\rightarrow\infty}y(t)=1$

  • 上升时间 $t_r$: 令 $\sin = 0$ 得 $t_r = \frac{\pi-\beta}{\omega_d}$

  • 峰值时间 $t_p$: 令 $\frac{dy(t)}{dt}=0$ 得 $\tan(\omega_dt+\beta) = \frac{\omega_d}{\zeta\omega_n} = \tan(\beta)~\Rightarrow ~\omega_dt_p=n\pi=\pi$ 得 $t_p = \frac{\pi}{\omega_d}$

  • 超调量 P.O. $y(t_p) = 1+e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}},~y(\infty)=1,~P.O.=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \cdot 100\%$, 由$\zeta$唯一决定

    | $\zeta$ | P.O. | 实虚比例 |
    | :——: | :——: | :——: |
    | 0.707 | <5% | 1:1 |
    | 0.6 | <10% | 3:4 |
    | 0.45 | $\approx$20% | 1:2 |
    | 0.32 | <35% | 1:3 |

  • 调节时间 $t_s$: 令 $\frac{e^{-\zeta\omega_nt_s}}{\sqrt{1-\zeta^2}} =\delta$ 得 $t_s \approx \frac{-\ln\delta}{\zeta\omega_n}$
    • 5% 准则, $\delta=5\%,~t_s\approx3T$
    • 2% 准则, $\delta=2\%,~t_s\approx4T$
    • 若精确计算, 当 $\omega_n$ 一定, $\zeta=0.707~(\beta = \pi/2)$ 时 $t_s$ 最小. $\zeta$ 一定时, 固有频率 $\omega_n$ 越大则 $t_s$ 越小.

极点 $s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\sigma\pm j\omega_d$

  • 等阻尼线, $\beta$ 线, P.O.线

​ 线上系统的 P.O. 都相同, $\beta$ 越大的线, 实虚比例越小, P.O.越大.

  • 等 $\omega_n$ 线: 以原点的中心, $\omega_n$ 为半径的圆, 圆上点 $\omega_n$ 都相等
  • 等 $t_s$ 线: 竖直线, 越左, 实部越小, $\zeta\omega_n$ 越大, $t_s$ 越小
  • 等 $t_p$ 线: 水平线, 离原点越远, 虚部越大, $t_p$ 越小