0%

Control Theory note

Lecture 1

控制: 使受控对象产生预期相应 (按照预期方式工作).

输入(激励) —> 输出(相应)

自动控制: 无人参与情况下, 利用控制装置使受控对象的某一受控变量自动按照预定规律运行.

受控对象: 要求实现自动工作的机器, 设备或生产过程. 有多个受控变量.

  • 开环控制: 利用执行机构直接控制受控对象, 信息单向流动

    • 控制量 $u(t)$ —> 执行机构(油门, 方向盘) —> 受控对象 —> 输出 $y(t)$​
  • 闭环控制: 有反馈过程, 信息双向流动

    • 预期输入 $r(t)$ —> 比较器 —> 误差$e(t)$ —> 控制器 —> 控制量$u(t)$ —> 受控对象 —> 实际输出 $y(t)$

      ​ $\uparrow$​​ <———- 测量值 <———- 测量装置 <———- 被测变量 <———- $\downarrow$​​

    HW 1

1-1

  • 输出变量: 激光器的实际输出功率
  • 输入变量: 激光器预期输出的功率
  • 待测变量: 传感器测量得到的, 与激光器的实际输出功率成比例的信号
  • 控制装置: 微处理器

1-2

Lecture 2

  • 经典控制理论: 传递函数
  • 现代控制理论: 状态空间方程

都要微分方程

  • 时间域: 微分/差分方程, 状态方程
  • 复数域: 传递函数, 结构图
  • 频率域: 频率特性函数

微分方程模型:

  • 确定输入量, 输出量
  • 根据设定写方程
  • 消除中间量, 保留输入, 输出
  • 标准化: 等式右边/左边与输入/输出变量有关

线性定常(时不变): 系数不变

线性系统:

  • 叠加性: $ y(x_1+x_2) = y(x_1) + y(x_2)$
  • 齐次性: $y(\beta x ) = \beta y(x)$

一般$n$​阶线性定常微分方程模型: $y(t)$ 为输出, $r(t)$ 为输入, $m<n$, $a,b$ 均为实数, 为系统参数

$a_0 \frac{d^n}{dt^n}y(t) + a_1 \frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t) + \cdots + a_{n-1} \frac{d^{}}{dt^{}}y(t) + a_n y_t = b_0 \frac{d^m}{dt^m}r(t) + b_1 \frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t) + \cdots + b_{m-1} \frac{d^{}}{dt^{}}r(t) + b_m r_t $​

建立线性化近似模型策略:

  1. 限制范围, 使系统工作在线性区, 忽略非线性. $y = (\frac{dy}{dx}|_{x_0})\cdot x$
  2. 小信号 : 泰勒展开. $\Delta y = (\frac{dy}{dx}|_{x_0})\cdot \Delta x$

时间域 $f(t)$ —> 傅立叶变换 —> 频率域 $F(\omega)$​ —> 傅立叶反变换 —> $f(t)$​

傅立叶变换: $F(\omega) = \int _{-\infty} ^ {+\infty} e^{-j\omega t} f(t)dt$

拉普拉斯变换: $L(s) = \int _{0} ^ {+\infty} e^{-(\sigma + j \omega ) t} f(t)dt$​, 复数 $s = \sigma + j \omega$​

$F(s) = L(f(t)) = \int _0 ^\infty f(t)e^{-st}dt$

拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换, 是线性变换

$F(s)$​ 为 $f(t)$ 的拉氏变换或象函数, $f(t)$ 为 $F(s)$​ 的原函数, 一一对应.

  • 指数函数: $f(t) = Ae^{-at} \rightarrow L(f(t)) = \frac{A}{s+a}$, 极点 $s = -a$
  • 单位阶跃函数: $0,1 \rightarrow \frac{1}{s}$, 极点 $s = 0$
  • 斜坡函数: $ At \rightarrow \frac{A}{s^2}$, 极点 $s_{1,2} = 0$
  • 幂函数: $ t^n \rightarrow \frac{n!}{s^{n+1}}$​
  • 正弦函数: $\sin \omega t \rightarrow \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ , 极点 $s_{1,2} = \pm j \omega$
  • 余弦函数: $ \cos \omega t \rightarrow \frac{s}{s^2 + \omega^2}$​ , 极点 $s_{1,2} = \pm j \omega$
  • 单位脉冲函数: $\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \rightarrow 1$

五大定理

  • 位移定理
    • 时间 $t$​​ 平移 $L[f(t-a)] = e^{-as}F(s)$
    • 频率域 $s$​​​ 平移 $L[f(t)e^{-at}] = F(s+a)$
    • 时间 $t$​​ 尺度变换 $L[f(\frac{t}{a})] = aF(as)$
  • 微分定理
    • $L[\frac{d}{dt} f(t)] = sF(s) - f(0)$​
    • $L[\frac{d^2}{dt^2} f(t)] = s^2F(s) - sf(0)- f’(0)$
    • $L[\frac{d^n}{dt^n} f(t)] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots -sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)$​
    • 零初始条件 $L[\frac{d^n}{dt^n} f(t)] = s^nF(s)$
  • 积分定理
    • $L(\int f(t)dt) = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0)}{s},~f^{-1}(0) = \int_{-\infty}^0 f(t)dt$
    • $L(\int \int f(t)dt) = \frac{F(s)}{s^2} + \frac{f^{-1}(0)}{s^2} + \frac{f^{-2}(0)}{s},~f^{-1}(0) = \int_{-\infty}^0 f(t)dt$
    • 零初始条件 $L[\int\int\cdots\int f(t)dt^n] = \frac{F(s)}{s^n}$
  • 终值定理
    • $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t)= \lim_\limits{s\rightarrow0}sF(s)$
  • 初值定理
    • $\lim\limits_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim\limits_{s \rightarrow \infty} sF(s) $​

Lecture 3

拉氏反变换 $f(t) = L^{-1} [F(s)]$

可将 $F(s)$​ 分解为典型函数的叠加 $L^{-1}[F(s)] = L^{-1}[F_1(s)] + L^{-1}[F_2(s)] + … +L^{-1}[F_n(s)]$​

通常 $F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} =\frac{b_{0}s^{m} + b_{1}s^{m-1} + … + b_{m-1}s^{} + b_{m}}{a_{0}s^{n} + a_{1}s^{n-1} + … + a_{n-1}s^{} + a_{n}} = \frac{c_{0}s^{m} + c_{1}s^{m-1} + … + c_{m-1}s^{} + c_{m}}{(s+p_1)(s+p_2)…(s+p_n)} $

$F(s)$ 的极点: 使分母 $A(s) = 0$ 的根​

$F(s)$ 的零点: 使分子 $B(s) = 0$ 的根​

  1. $F(s)$ 只有不同的实数极点 $F(s) = \sum\limits _{i=1} ^n \frac{A_i}{s+p_i} \Rightarrow L^{-1}[F(s)] = \sum\limits _{i=1} ^n L^{-1} [\frac{A_i}{s+p_i}] = \sum\limits _{i=1} ^n A_i e^{-p_i t}$
  2. $F(s)$​​ 有共轭复数极点 $\frac{s+1}{s(s^2+s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs+C}{s^2+s+1}$
  3. $F(s)$ 有重极点 $\frac{s+3}{(s+2)^2(s+1)} = \frac{A}{(s+2)^2}+\frac{B}{(s+2)} + \frac{C}{s+1}$

用拉氏变换求微分方程

  1. 将方程通过拉氏变换变为 $s$ 的代数方程
  2. 解代数方程得到 $F(s)$
  3. 反变换回时域解 $f(t)$

受控变量运动模态取决于其变换函数 $Y(s)$​ 的极点(分母多项式方程的根)

  • $s = -a \Leftrightarrow e^{-at}$
  • $s = \pm j \omega \Leftrightarrow \sin(\omega t)$

传递函数: 在0初始条件下, 系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值

只适用于线性定常系统

$G(s) = \frac{b_{0}s^{m} + b_{1}s^{m-1} + … + b_{m-1}s^{} + b_{m}}{a_{0}s^{n} + a_{1}s^{n-1} + … + a_{n-1}s^{} + a_{n}} = \frac{M(s)}{N(s)}$​

$n \ge m$, 系数均为实数

放大系数(增益): $G(0) = \frac{b_m}{a_n} = K$

$N(s) = 0$ 称为系统的特征方程, 其根为系统的特征根, $s$ 的最高阶次等于系统的阶次

Lecture X

二阶系统的时域响应性能分析

$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)},~H(s)=1$

$\Phi(s) = \frac{G}{1+GH} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta \omega_ns+\omega_n^2}$

梦开始的地方, 可见二阶系统由2个参数决定: $\zeta,~\omega_n$

symbol CHN
$\zeta$ 阻尼系数, 阻尼比
$\omega_n$ 系统固有频率, 自然振荡频率
$\sigma = \zeta\omega_n$ 衰减系数, 负的实部
$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$ 阻尼频率, 虚部
$\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}$ 根实部虚部之比
$\beta=\arctan{\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}}$ 阻尼角
T=$\frac{1}{\zeta\omega_n}$ 广义时间常数

$\zeta \in$

  • (0,1): 欠阻尼系统, 重点
  • {1}: 临界阻尼系统
  • (1, $+\infty$​​): 过阻尼系统
  • {0}: 零阻尼系统
  • ($-\infty$​, 0): 负阻尼系统

以下讨论欠阻尼系统

$s^2 + 2\zeta \omega_ns+\omega_n^2 = 0$​​​, 极点 $s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\sigma\pm j\omega_d$​​

一对共轭复根​​​

单位阶跃响应 $Y(s) = \frac{1}{s}\cdot\Phi(s)$

$y(t) = 1 - e^{-\zeta\omega_nt} [\cos(\sqrt{1-\zeta^2} \omega_nt) + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\sqrt{1-\zeta^2} \omega_nt)] = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_dt+\beta)$​

  • 零稳态误差: $\lim_{t\rightarrow\infty}y(t)=1$

  • 上升时间 $t_r$: 令 $\sin = 0$ 得 $t_r = \frac{\pi-\beta}{\omega_d}$

  • 峰值时间 $t_p$: 令 $\frac{dy(t)}{dt}=0$ 得 $\tan(\omega_dt+\beta) = \frac{\omega_d}{\zeta\omega_n} = \tan(\beta)~\Rightarrow ~\omega_dt_p=n\pi=\pi$ 得 $t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \pi$ / 虚部

  • 超调量 P.O. $y(t_p) = 1+e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}},~y(\infty)=1,~P.O.=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \cdot 100\%$, 由$\zeta$唯一决定

    | $\zeta$ | P.O. | 实虚比例 |
    | :——: | :——: | :——: |
    | 0.707 = $\sqrt{2}/2$ | <5% | 1:1 |
    | 0.6 | <10% | 3:4 |
    | 0.45 | $\approx$20% | 1:2 |
    | 0.32 | <35% | 1:3 |

  • 调节时间 $t_s$: 令 $\frac{e^{-\zeta\omega_nt_s}}{\sqrt{1-\zeta^2}} =\delta$ 得 $t_s \approx \frac{-\ln\delta}{\zeta\omega_n}$

    • 5% 准则, $\delta=5\%,~t_s\approx3T = 3$ / 实部
    • 2% 准则, $\delta=2\%,~t_s\approx4T= 4$ / 实部
    • 若精确计算, 当 $\omega_n$ 一定, $\zeta=0.707~(\beta = \pi/2)$ 时 $t_s$ 最小. $\zeta$ 一定时, 固有频率 $\omega_n$ 越大则 $t_s$ 越小.

极点 $s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=-\sigma\pm j\omega_d$

  • 等阻尼线, $\beta$ 线, P.O.线

​ 线上系统的 P.O. 都相同, $\beta$ 越大的线, 实虚比例越小, P.O.越大.

  • 等 $\omega_n$ 线: 以原点的中心, $\omega_n$ 为半径的圆, 圆上点 $\omega_n$ 都相等
  • 等 $t_s$ 线: 竖直线, 越左, 实部越小, $\zeta\omega_n$ 越大, $t_s$ 越小
  • 等 $t_p$ 线: 水平线, 离原点越远, 虚部越大, $t_p$ 越小

Lecture X+1

高阶系统

瞬态响应由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的.

当所有闭环极点均具有负实部时, 系统稳定.


研究高阶 (二阶系统的有限扩展)

  • 额外闭环零点

    $\Phi(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\left(\frac{s+z}{z}\right)$

    增加了微分环节, 波动增强

    $y’(t) = 1 - y(t) + \frac{\omega_n}{z}\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t)$

  • 额外闭环极点

    $\Phi(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\left(\frac{p}{s+p}\right)$

    增加了积分环节, 波动减弱. 其中 $p$ 对瞬态行为的影响可以忽略

    上述 $z,~p$ 的作用是 $s\rightarrow0 (t\rightarrow\infty)$ 时系统相应不变


高阶的简化

  • 忽略非主导极点

    主导极点: 靠近虚轴且附近没有零点的极点, 实部为 $\zeta\omega_n$

    可以忽略实部为 $N\zeta\omega_n~(N\ge 10)$ 的远端极点

  • 偶极子相消

    一极点与一零点之间的距离 < 它们本身到原点距离的 1/10, 可以消掉 (太阳是原点, 消掉海王星及其卫星)

只有负实部的点可以消, 且要保持系统静态增益不变

eg. $\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{s+20.03}{(s+20)(s+100)(…)}\approx\frac{1}{(s+100)(…)}\approx\frac{1}{100(…)}$


稳态性能分析

$X_i(s)$ 系统输入
$X_o(s)$ 实际系统输出
$X_{oi}(s)$ 理想系统输出
$N(s)$ 干扰
$E(s) = X_{oi}(s) - X_{o}(s)$ 误差, 理想输出和实际输出之差
$\epsilon(s) = X_{i}(s) - H(s)X_o(S)$ 偏差, 系统输入信号与反馈信号之差
$e_{ss} = \lim_{t\rightarrow\infty} e(t)$ 稳态误差
$\epsilon_{ss} = \lim_{t\rightarrow\infty} \epsilon(t)$ 稳态偏差

$\frac{X_o(s)}{X_i(s)} = \frac{G}{1+GH}$

当 $GH>>1,~\frac{X_o(s)}{X_i(s)} \approx \frac{1}{H}$

$X_{oi}(s) = \frac{1}{H} X_i(s)$

$E(s) = X_{oi}(s) - X_{o}(s) =\frac{1}{H} X_i(s) - \frac{HX_o(S)}{H} = \frac{\epsilon(s)}{H}$

若已知 $H$, 可由稳态偏差求得稳态误差.

单位负反馈: 偏差 = 误差

系统误差由输入干扰引起的误差造成.

可利用叠加原理直接相加二者求出系统误差.


输入引起的稳态误差

偏差传递函数 $\frac{\epsilon(s)}{X_i(s)} = \frac{1}{1+GH}$

稳态误差 $e_{ss}=\frac{\epsilon_{ss}}{H(0)}$

$ = \frac{1}{H(0)}\lim_{s\rightarrow0}s\cdot\epsilon(s) = \frac{1}{H(0)}\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \frac{X_i(s)}{1+GH}$

取决于系统参数与输入信号

计算方法:

  • 根据系统型次快速得到
  • 利用偏差传递函数+终值定理

干扰引起的稳态误差

干扰传递函数 $\frac{X_o(s)}{N(s)} = \frac{G_2}{1+G_1G_2H}$

干扰偏差传递函数 $\frac{\epsilon(s)}{N(s)} = \frac{-G_2H}{1+G_1G_2H}$

计算方法:

  • 利用干扰偏差传递函数

增大 $G_1$ 的增益或是添加积分环节可以消除干扰误差.


系统的型次

重写系统开环传递函数 $G(s)H(s) = \frac{K(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)…}{s^\lambda(T_1s+1)(T_2s+1)…}$

$\lambda=0/1/2:$ 0 / I / II 型系统

  • 静态位置误差系数

    $K_p = \lim_{s\rightarrow0}G(s)H(s)=G(0)H(0)$

    单位阶跃输入, 稳态偏差 $\epsilon_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \frac{1}{1+G(s)H(s)} \frac{1}{s} = \frac{1}{1+G(0)H(0)} = \frac{1}{1+K_p}$

    0 型系统 $K_p = K,~\epsilon_{ss}=\frac{1}{1+K}$

    I,II型系统 $K_p = \infty,~\epsilon_{ss}=\frac{1}{1+\infty}=0$

  • 静态速度误差系数

    $K_v = \lim_{s\rightarrow0}s\cdot G(s)H(s)$

    单位斜坡输入, 稳态偏差 $\epsilon_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \frac{1}{1+G(s)H(s)} \frac{1}{s^2} = \lim_{s\rightarrow0}\frac{1}{sG(s)H(s)} = \frac{1}{K_v}$

    0 型系统 $K_v = 0,~\epsilon_{ss}=\infty$

    I 型系统 $K_v = K,~\epsilon_{ss}=\frac{1}{K}$

    II 型系统 $K_v = \infty,~\epsilon_{ss}=0$

  • 静态加速度误差系数

    $K_a = \lim_{s\rightarrow0}s^2\cdot G(s)H(s)$

    单位加速度输入, 稳态偏差 $\epsilon_{ss}=\lim_{s\rightarrow0}s\cdot \frac{1}{1+G(s)H(s)} \frac{1}{s^3} = \lim_{s\rightarrow0}\frac{1}{s^2G(s)H(s)} = \frac{1}{K_a}$

    0 型系统 $K_v = 0,~\epsilon_{ss}=\infty$

    I 型系统 $K_v = 0,~\epsilon_{ss}=\infty$

    II 型系统 $K_v = K,~\epsilon_{ss}=\frac{1}{K}$

    | ? | 单位阶跃 | 单位斜坡 | 单位加速度 |
    | :——: | :——: | :——: | :——: |
    | 0 型 | $\frac{1}{1+K}$ | $\infty$ | $\infty$ |
    | I 型 | 0 | $\frac{1}{K}$ | $\infty$ |
    | II 型 | 0 | 0 | $\frac{1}{K}$ |

增大 $K$, 可减小输入引起的稳态误差

提高型次, 可以消除输入引起的稳态误差

Lecture X+2

BIBO 稳定性

Bounded Input Bounded Output?

$|r(t)|_{t\rightarrow\infty} < \infty \rightarrow |y(t)|_{t\rightarrow\infty} < \infty$

系统固有属性, 与输入无关.

稳定充要条件: 所有闭环极点都在左半平面.

若虚轴有极点, 则临界稳定

若右平面有极点, 则不稳定

劳斯-赫尔维茨稳定性判据

系统的特征多项式: 闭环传递函数的分母 $q(s) = a_{n}s^{n} + a_{n-1}s^{n-1}+\cdots a_{1}s^{} + a_0$

闭环系统稳定充要条件:

  • $a_i > 0$, 记得记得记得
  • 劳斯判定表中第一列均为正

劳斯判定表: 一撇减一捺, 除以左下角

  • $q(s) = a_2s^2 + a_1 s + a_0$ : $a_2, a_1,a_0$ 同号
  • $q(s) = a_3s^3+a_2s^2 + a_1 s + a_0$ : $a_2a_1>a_3a_0$

特殊情况:

  • 有一个元素为0, 用无穷小正数 $\epsilon$ 代替, 继续求, 最后求极限
  • 全零行, 前一行多项式是 $q(s)$ 的因子, 提取计算

Lecture X+3

根轨迹图: 以增益 $K$ 为变量, 当 $K:0\rightarrow \infty$, 系统闭环极点在 $S$ 平面上变化的轨迹.

闭环传递函数 = $\frac{KG(s)}{1 + KG(s)H(s)}$

特征方程 (分母=0): $1 + KG(s)H(s) = 0$

特征方程中 $s$ 的最高阶次 = 系统阶次

开环传递函数 $KG(s)H(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)…}{(s+p_1)(s+p_2)…}$

eg. $KG(s)H(s) = \frac{K(s+1)}{(s+2)(s+1.5)(s-0.5)}$

验证 $-1.09\pm j 2.07$ 在根轨迹上:

  • 相角条件: 判断在不在

    $+(92.49\degree)-(66.27\degree+78.8\degree+127.53\degree) = -180\degree=180\degree+k360\degree(k=0,\pm1,\pm2…)$

  • 幅值条件: 计算此时的 $K$

    $|KG(s)H(s)| = \frac{K|s+1|}{|s+2||s+1.5||s-0.5|} = \frac{K|s-(-1)|}{|s-(-2)||s-(-1.5)||s-0.5|} =\frac{K2.072}{2.262.11*2.61} = 1$ 得 $K = 6.0068$


$N$ 阶系统

$\leftrightarrow$ 特征方程(传递函数分母) $s$ 次数为 $N$

$\leftrightarrow$ 有 $N$ 个极点

$\leftrightarrow$ 根轨迹有 $N$ 个分支

而闭环极点为实根/共轭复根, 因此根轨迹关于实轴对称.

  • 起点: $K\rightarrow0$, 由特征方程得 $(s+p_1)(s+p_2)…=0$, 即起点为极点 pole, x 出
  • 终点: $K\rightarrow\infty$, 由特征方程得 $(s+z_1)(s+z_2)…$, 即起点为零点 zero, o 入

  • 然而 $n$ 个极点, $m$ 个零点, 会有 $n-m$ 条轨迹飞向远方 (无限零点).

画根轨迹草图

1 零极点

由开环传递函数 $KGH$ 得到.

2 实轴轨迹

实轴上右侧开环零, 极点个数为奇数的段.

3 分离点与会合点

$KG(s)H(s) = \frac{K(s+z_1)(s+z_2)…}{(s+p_1)(s+p_2)…} = -1$

$K = -\frac{Q(s)}{P(s)} =-\frac{(s+p_1)(s+p_2)…}{(s+z_1)(s+z_2)…} $

由 $\frac{dK}{ds}=0$ 求出 $K$ 关于 $s$ 的极值点, 代入特征方程以舍去使 $K<0$ 的 $s$ 值.

极大值为分离点, 极小值为会合点.

4 渐近线

有 $n-m$ 个无限零点, $n-m$ 条渐近线

  • 确定渐近线与实轴交点 (渐进中心) : $\frac{\Sigma(-p) - \Sigma(-z)}{n-m} = \frac{极点之和-零点之和}{n-m}$
  • 由渐进中心”射出” $n-m$ 条渐近线, 与实轴夹角为 $\frac{180\degree}{n-m},~\frac{180\degree + 360\degree}{n-m},~\frac{180\degree + 720\degree}{n-m},~…$ 平分 $S$ 平面
    • $n-m=1:~180$
    • $n-m = 2:~90, 270$
    • $n-m = 3:~60, 180, 300$

5 出射角和入射角

  • 出射角 $= (2k+1)\pi + $ 与所有零点相角之和 - 与其他极点相角之和
  • 入射角 $= (2k+1)\pi + $ 与所有极点相角之和 - 与其他零点相角之和

6 虚轴交点

  • 法一: 特征方程

    $1 + KG(j\omega)H(j\omega) = 0$, 即方程左边实部虚部都为0, 求出 $\omega,~K$

  • 法二: 劳斯判据

    求出临界稳定的 $K$ 值, 再代入特征方程求得交点 $j\omega$

复习

1 2 5 6 7 3 11

拉氏变换的五大性质的证明不考

梅森公式不考

调节时间等时间不用记具体的式子, 只要记常见的设定

死记硬背

概念

  • 自动控制: 无人参与情况下, 使受控对象产生预期响应.

  • 控制理论研究两类问题

    • 性能分析
    • 综合与校正
  • 经典控制理论采用的数学模型以传递函数为基础

  • 现代控制理论采用的数学模型以状态空间方程为基础

  • 微分方程是列写传递函数和状态空间方程的基础

  • 传递函数因子/环节

    • 比例 $K$: 输出量按一定比例复现输入量,无滞后、失真现象

    • 比例微分 $\tau s +1$: 动态过程中,输出量不仅与输入量本身有关, 而且与输入量的变化率有关

    • 二阶微分 $\tau^2 s^2 + 2\zeta\tau s+1$: 动态过程中,输出与输入及其一、二阶导数 都有关

    • 积分 $\frac{1}{Ts}$: 输出量取决于输入量对时间的积累过程。且具有记忆功能. 具有明显的滞后作用, 输出量须经过时间 T 才能达到输入量在t = 0 时的值 A

    • 一阶惯性 $\frac{K}{Ts + 1}$: 动态过程中,输出不能立即复现输入,存在 时间上的延迟

    • 二阶振荡 $\frac{K}{T^2s^2 + 2\zeta T s+1}$: 动态过程中,输出不能立即 复现输入,输出带有振荡的性质

    • 延迟: 从输入开始之初,在0 ~ τ 时间内,没有输出, 但 t=τ 之后,输出完全等于输入

  • 框图模型: 描述系统及各组成部件之间信号传递关系的 图示化模型

    • 信号线
    • 信号引出点
    • 函数方框
    • 比较点
  • 减小误差

    • 减小输入引起的稳态误差
      • 增大开环放大倍数
      • 提高系统型次
    • 减小干扰带来的稳态误差
      • 增大干扰点前放大倍数
      • 在干扰点前加积分器
  • image-20220102214024066

  • 微分型增加开环零点: 增加合适的开环零点,可以使根轨 迹产生向左弯曲的倾向,有利于提 高系统稳定性和阻尼系数

  • 积分型增加开环极点: 增加开环极点,将使根轨迹产生向 右弯曲的倾向。这不利于系统稳定 性,但有利于稳态精度。

  • 综合型增加开环零极点

  • | | PO | $t_s$ | 稳态误差 | 稳定性 |
    | —————— | —— | ——- | ———— | ———— |
    | 增大比例系数 | 大 | 不变 | 小 | 不变 |
    | 增大纯微分系数 | 过阻尼 | 大 | 不变 | 差 |
    | 增大纯积分系数 | 大 | 大 | 型次变大, 小 | 差 |

    image-20220102214518590

  • 经典控制理论采用传递函数描述对象的输入、输出 关系。

  • 状态空间方法采用系统状态描述系统内部运行 的基本规律。

  • 系统状态是指表示系统的一组变量,只要知道了这组变量 当前取值情况、输入信号和描述系统动态特性的方程,就 能够完全确定系统未来的状态和输出响应。

  • 状态空间: 以各状态变量x1(t), x2 (t), …, xn(t)为坐标轴所构 成的n维空间。

公式

  • 典型函数拉氏变换
  • 拉氏变换性质
  • 闭环传递函数 G1G2, 偏差传递函数 1, 干扰传递函数 G2, 干扰偏差传递函数 -G2H, 干扰引起的误差 $\frac{-G_2}{1+G_1G_2H}N(s)$
  • 静态位置/速度/加速度误差系数 $K_p, K_v, K_a$
  • image-20220102214921488
  • 阿克曼公式
    • $K = [0, 0, 1]P_c^{-1}q(A)$
    • $L = p(A)P_o^{-1}[0,0,1]^T$

MATLAB

ployval 求多项式值

roots 求根

poly 重构多项式

tf, zero, pole pzmap

zpk

tf2zp, zp2tf

conv 多项式相乘

series, parallel, feedback, cloop

residue 部分分式展开

minreal 零极点对消

step 绘制单位阶跃响应曲线

impulse 绘制单位脉冲响应曲线

lsim 绘制任意输入响应曲线

rlocus 画根轨迹

rlocfind

sisotool

ss tf

expm

ctrb

obsv

acker